Fundamentos del proc. de señales

APS - 1.º Grado en Inteligencia Artificial

Anxo López Rodríguez

Escuela Superior de Enxeñaría Informática - Universidade de Vigo

Fundamentos del procesamiento digital de señales

Procesamiento Digital de Señales (DSP)

Manipulación y análisis de señales de forma digital. Conversión de señales analógicas a digital, proc. mediante algor. matemáticos y técnicas computacionales. Es crucial en telecomunicación, proc. de Audio y Video, instrumentación médica.

Transformada de Fourier Continua

Herramienta matemática usada para descomponer una función de tiempo continuo en sus componentes de frecuencia. A diferencia de la Trans. de Fou. Discreta (DFT), se aplica a señales continuas en el tiempo.

• Fórmula: \(X(w) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-iwt} dt\)
• Inversa: \(x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(w)e^{-iwt} dw\)

Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Herramienta esencial en el proc. de señales, permitiendo la transf. de valores num. en el dominio del tiempo a una rep. en el dominio de la frecuencia.

• Propiedades:
  • Periodicidad
  • Simetría
  • Linealidad
  • Inversión (IDFT)
• Fórmula: \(X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\)
• Inversa (IDFT): \(x[n] = (\frac{1}{N}) \sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{-i2\pi kn/N}\)

Introducción al análisis espectral

El espectro de una señal proporciona una representación de la variación de su amplitud y f., esencial para entender la naturaleza de la señal.

• Fundamentos de la transf. de Fourier:
  • Continua / Discreta: Versión adaptada para señales y sist. digitales.
  • Rápida (FFT): Implementación eficiente de la DFT, menos compleja computacionalmente.
• Amplitud vs Frecuencia: Muestra las intensidades de las dif. frecuencias presentes en la señal.
• Análisis espectral en Tiempo Real: Permite identificar y responder a cambios dinámicos en señales.
• Espectrogramas: Herramienta visual que muestra cómo el espectro varía con el tiempo, mediante una visión tridimensional.

Ventanas temporales

Selección de un segmento específico de tiempo de una señal para analizar su contenido de frecuencia.

• Compromisos:
  • Resolución de Frecuencia vs Pendiente de lóbulo espectral
  • Ventana de compresión vs Compromiso entre Tiempo y Frecuencia
• Tipos de ventanas:
  • Rectangular (Boxcar)
  • Hanning, Hamming
  • Gauss

Aspectos clave de sistemas discretos

-> Representación y Análisis de Sistemas Lineales e Invariantes en el tiempo

• Linealidad: Se cumple con el principio de Superposición. Si la salida del sist. para una combi. lineal de entradas es igual a la combi. lineal de las salidas corresp.
• Invarianza en el tiempo: Un sist. desplazado en el tiempo produce una salida desplazada en el mismo grado.
• Representación: Los sist. LTI se representan por su resp. al impulso.

-> Convolución y Respuesta en Frecuencia

• Convolución: Operación matemática fundamental en sist. LTI que describe como se combina la entrada con la resp. al impulso del sist. para producir la salida.
  • Convolución discreta: La salida y[n] es la convolución de la entrada x[n] con la respuesta al impulso h[n].
• Respuesta en Frecuencia: Describe como el sist. modifica las frec. de una señal de entrada. Se calcula aplicando la T. de Fourier a la respuesta al imp. del sist.

-> Técnicas avanzadas de análisis espectral

Transformada de Fourier de tiempo corto (STFT)

Combinación de elementos del dominio del tiempo y de la frec. para analizar la evolución temporal de la frecuencia. Útil para señales no estacionarias.

• Principio de Funcionamiento: La STFT divide la señal en segmentos cortos de distintos tiempos y aplica la transformada de Fourier a cada segmento.
• Ventanas Temporales: Una ventana más estrecha ofrece mejor resolución en tiempo y una más ancha una mejor resolución en frecuencia.
• Aplicación: Análisis de señales de audio, procesamiento voz…

Análisis Wavelet

Proporciona una alternativa a la STFT para analizar señales temporales que varían. El análisis wavelet utiliza ventanas que varían en tamaño, permitiendo una mejor representación de las caract. de alta y baja frecuencia.

• Wavelets: Funciones que se concentran en el tiempo y frecuencia, conocidas por ser de duración limitada y media cero.
• Escalado y Traslación: Se pueden escalar y trasladar, brindando un análisis detallado a diferentes escalas de tiempo y frec.
• Aplicación: Útil en campos como proces. de imágenes, detección de sismos y análisis de señales biomédicas.

Análisis Multirresolución

Descompone una señal en comp. a diferentes escalas. Útil si se requiere un análisis detallado a varias escalas.

• Descomposición multinivel: Descomposición en aproximación y detalle, útil en diferentes bandas de frec. y niveles de detalle.
• Reconstrucción: Es posible reconstruir la señal original, útil en reducción de ruido y compresión de datos.
• Aplicaciones: Aplicaciones en áreas como la reducción de ruido en señales, compresión y codificación de imágenes/video…